A MECÂNICA SDCTIE GRACELI É UM SISTEMA FUNDAMENTADO EM CINCO PILARES;

dez ou mais dimensões de graceli  SISTEMA DECADIMENSIONAL GRACELI].

CATEGORIAS DE GRACELI.

ESTADOS TRANSICIONAIS E FENOMÊNICOS DE GRACELI.

TRANSFORMAÇÕES. E INTERAÇÕES.

DENTRO DO SISTEMA DE DIMENSÕES NÃO ENTRA O ESPAÇO E O TEMPO, LOGO NÃO SEGUE VARIAÇÕES CURVAS GEOMÉTRICAS, OU EM RELAÇÃO AO TEMPO, OU LATITUDE, LONGITUDE E ALTURA.


MAS SIM, DIMENSÕES DA MATÉRIA, ENERGIAS, FENÔMENOS E ESTADOS TRANSICIONAIS.


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 DIMENSÕES DE GRACELI, E DIMENSÕES DE ESTADOS TRANSICIONAIS.

NÃO SEGUE UMA RELAÇÃO DE ENERGIA E MATÉRIA,

MAS SIM DE CATEGORIAS, UM SISTEMA DECADIMENSIONAL E ESTADOS TRANSICIONAIS.

E NEM VARIAÇÕES DE MOVIMENTOS E MOMENTUM.


MAS SIM, VARIAÇÕES DE ESTRUTURAS, ESTADOS TRANSICIONAIS. CONFORME O SDCITE GRACELI.



PARA ENTENDER O SDCTIE GRACELI.

FÍSICA DIMENSIONAL CATEGORIAL GRACELI - NO SDCTIE GRACELI

Mecânica SDCTIE GRACELI

ELETRO-ENTROPIA QUÂNTICA GRACELI NO SDCTIE GRACELI



CONFORME A INTENSIDADE DE DESCARGAS ELÉTRICAS COMO RAIOS, RELÂMPAGOS, ENCONTROS DE FIOS DE ALTA TENSÃO OCORREM DESORDEM E TRANSFORMAÇÕES DE CARGAS ELÉTRICAS E ALTERAÇÕES MAGNÉTICAS COM VARIAÇÕES EXPONENCIAIS CONFORME A INTENSIDADES DAS DESCARGAS ELÉTRICAS.

E COM ALTERAÇÕES NOS ESTADOS QUÂNTICO DE CADA ÍONS, E VARIAÇÕES ALEATÓRIAS DE FLUXOS NO MEIO EM QUE SE ENCONTRAM [NO ESPAÇO OU DENTRO DOS MATERIAIS.


COM ISTO SE TEM A ELETRO-ENTROPIA  GRACELI..

VEJAMOS:

A LUZ É UMA ENERGIA  ELETROMAGNÉTICA NUM SISTEMA DIMENSIONAL DE ESTADOS QUÂNTICOS.
OU SEJA, NESTE CASO NÃO SE APRESENTA NEM COMO ONDA E NEM COMO PARTÍCULA.

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Resolução de problema de causalidade[editar | editar código-fonte]

T.C. Scott e R.A. Moore demonstraram que a aparente falta de causalidade, causada pela presença de avançado potenciaus de Liénard-Wiechert na sua formulação original pode ser removido através da fusão a sua teoria dentro de uma formulação totalmente relativista eletrodinâmica muitos de corpo, em termos de potenciais retardados apenas sem as complicações de a parte de absorção da teoria.^[3][4] Se considerarmos a Lagrangiana agindo sobre a partícula um dos campos de tempo simétricos gerados pela partícula 2, temos:

${\displaystyle L_{1}=T_{1}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{1}^{2}+(V_{A})_{1}^{2}\right)}$

X

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onde ${\displaystyle T_{i}}$ é a energia cinética relativística funcional de partícula i, e,${\displaystyle (V_{R})_{j}^{i}}$ e ${\displaystyle (V_{A})_{j}^{i}}$ são, respectivamente, os potenciais retardados e avançado de Liénard-Wiechertagindo em partícula j dos campos eletromagnéticos gerados por partícula relativista i. Por outro lado, a lagrangiana correspondente para partícula 2 fez sinal por partícula 1 é:

${\displaystyle L_{2}=T_{2}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{2}^{1}+(V_{A})_{2}^{1}\right).}$

X

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Foi inicialmente demonstrado com matemática experimental através de matemática simbólica^[5] e em seguida demonstrado matematicamente^[6] de que a diferença entre um potencial retardado de partícula i agir sobre partícula j, e o potencial avançado de j partícula agindo sobre a partícula i é simplesmente um tempo total derivado :

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=(V_{R})_{j}^{i}-(V_{A})_{i}^{j}}$

X

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ou uma "divergência", como é chamado no cálculo das variações , porque em nada contribui para as equações de Euler-Lagrange. Assim, através da adição da quantidade adequada de derivados de tempo total para estes lagrangianas, os potenciais avançados podem ser eliminados. O Lagrangeano para o problema dos N-Corpos é, portanto:

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{N}T_{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}^{N}(V_{R})_{j}^{i}}$

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em que os potenciais avançados não fazem nenhuma aparência. Além disso, esta apresenta simetria Lagrangiana partícula-partícula.^[3] Para ${\displaystyle N=2}$ este Lagrangiana gerará exactamente as mesmas equações do movimento de ${\displaystyle L_{1}}$ e ${\displaystyle L_{2}}$ e, conseqüentemente, a física do problema é preservada. Assim, do ponto de vista de um observador do lado de fora da visualização relativista problema n-corpo , tudo é causal. No entanto, se isolar as forças que atuam sobre um corpo particular, o potencial avançado faz a sua aparição. Esta reformulação do problema vem com um preço: o N-corpo Lagrangiana depende de todas as derivadas temporais das curvas traçadas por todas as partículas ou seja, o Lagrangiano é a ordem infinita. No entanto, sob simetria troca de partículas totais e Generalized Momenta (resultante da definição de uma ordem de Lagrange infinito) são conservados. O recurso que pode parecer uma não-local é que o princípio de Hamilton é aplicada a um sistema de muitas partículas relativista como um todo, mas isso é o máximo que se pode ir com a teoria clássica (não da mecânica quântica). No entanto, muito progresso foi feito em examinar a questão não resolvida da quantização da teoria.^[7][8][9] As soluções numéricas para o problema clássico também foram encontradas.^[10] Note também que esta formulação recupera a lagrangiana de Darwin de que a equação Breit foi originalmente derivada, mas sem os termos dissipativos. [4] Isso garante acordo com a teoria ea experiência até, mas não incluindo o desvio de Lamb. Uma vantagem importante de sua abordagem é a formulação de uma canônica impulso generalizado totalmente preservado, tal como apresentado em artigo de revisão abrangente à luz do paradoxo EPR.^[11]

Não localidade, em mecânica quântica, se refere à propriedade de estados quânticos entrelaçados na qual dois estados entrelaçados "colapsam" simultaneamente no ato de medição de um dos componentes emaranhados, independente da separação espacial entre os dois estados. Essa "estranha ação a distância" é o conteúdo do Teorema de Bell e do paradoxo EPR. Na física teórica, a não-localidade quântica refere-se ao fenômeno pelo qual as estatísticas de medição de um sistema quântico multipartido não admitem uma interpretação em termos de uma teoria realista local. A não localidade quântica foi verificada experimentalmente sob diferentes premissas físicas.^{[1][2][3][4][5]}

Teoria de campos[editar | editar código-fonte]

Em teoria de campos, uma Lagrangiana não local é o funcional ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\phi (x)]}$ que contém termos que são não locais em campos ${\displaystyle \ \phi (x)}$, isto é, que não são polinômios ou funções de campos ou suas derivadas calculadas em um ponto do espaço de parâmetros dinâmicos (exemploː espaço-tempo). Exemplos de tais Lagragianas não locais:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x}\phi (x))^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi (x)^{2}+\phi (x)\int {{\frac {\phi (y)}{(x-y)^{2}}}\,d^{n}y}}$

X

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${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}{\mathcal {F}}_{\mu \nu }(1+{\frac {m^{2}}{\partial ^{2}}}){\mathcal {F}}^{\mu \nu }}$

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Ações obtidas de Lagragianas não locais são chamadas de ações não locais. As ações que aparecem em teorias físicas, como no Modelo Padrão, são ações locais. Ações não locais fazem parte de teorias que tentam ir além do Modelo Padrão, e também aparecem teorias de campo efetivo. Não localização de uma ação local é um aspecto essencial em alguns procedimentos de regularização.

A equação da onda é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem importante que descreve a propagação das ondas – tais como ocorrem na física – tais como ondas sonoras, luminosas ou aquáticas. Ela surge em áreas como a acústica, eletromagnetismo, e dinâmica dos fluidos. Historicamente, o problema de uma corda vibrante como as de um instrumento musical foi estudado por Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, e Joseph-Louis Lagrange.^[1][2][3][4]

Um pulso viajando através de uma corda com extremidades fixas, como modelado pela equação de onda.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Equações de onda são exemplos de equações diferenciais parciais hiperbólicas, mas existem muitas variações.

Na sua forma mais simples, a equação de onda diz respeito a uma variável de tempo t, uma ou mais variáveis ​​espaciais x₁, x₂, …, x_n, e uma função escalar u = u (x₁, x₂, …, x_n; t), cujos valores poderiam modelar o deslocamento de uma onda. A equação de onda para u é:

$${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u}$$

X

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onde ∇² é o (espacial) Laplaciano e onde c é uma constante fixa.

Soluções desta equação que são inicialmente zero, fora de alguma região restrita, propagar-se-ão na região a uma velocidade fixa em todas as direções espaciais, assim como ondas físicas a partir de uma perturbação localizada, a constante c é identificada com a velocidade de propagação da onda. Esta equação é linear, da mesma forma que a soma de quaisquer duas soluções é novamente uma solução: na física esta propriedade é chamada princípio da superposição.

A equação sozinha não especifica uma solução, uma solução única é normalmente obtida pela fixação de um problema com outras condições, tais como condições iniciais, que prescrevem o valor e a velocidade da onda. Outra classe importante de problemas especifica as condições de contorno, para as quais as soluções representam ondas estacionárias, ou harmônicos, análogos aos harmônicos de instrumentos musicais.

Para modelos de fenômenos de onda dispersivos, aqueles em que a velocidade de propagação da onda varia com a frequência da onda, a constante c passa a ter a velocidade de fase:

$${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}}$$

X

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A equação da onda elástica em três dimensões descreve a propagação de ondas em meio elástico isotrópico homogêneo. A maioria dos materiais sólidos são elásticos, por isso esta equação descreve fenômenos como as ondas sísmicas na Terra e as ondas de ultra-som usados ​​para detectar falhas em materiais. Enquanto linear, esta equação tem uma forma mais complexa do que as equações acima, como deve contabilizar movimento tanto longitudinal e transversal:

$${\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$$

X

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em que: λ e μ são os chamados parâmetros Lamé descrevendo as propriedades elásticas do meio, ρ é a densidade, f é a função fonte (força motriz), e u é o vetor de deslocamento.

Nota-se que nesta equação, tanto a força quanto o deslocamento são grandezas vetorias . Assim, esta equação é conhecida como a equação de onda do vetor.

Variações da equação de onda também são encontrados na mecânica quântica, física de plasma e relatividade geral.

Equação de onda escalar em uma dimensão espacial[editar | editar código-fonte]

Derivação da equação de onda[editar | editar código-fonte]

A lei de Hooke[editar | editar código-fonte]

A equação de onda no caso unidimensional pode ser derivada a partir da lei de Hooke, da seguinte forma: imagine uma matriz de pequenos pesos de massa m interligados com molas sem massa de comprimento h. As molas têm uma constante elástica k:

Aqui u (x) mede a distância a partir do equilíbrio de massa situado em x. As forças exercidas sobre a massa m na posição x + h são as seguintes:

$${\displaystyle F_{\mathit {Newton}}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}}$$

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$${\displaystyle F_{\mathit {Hooke}}=F_{x+2h}-F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]}$$

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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A equação do movimento para o peso na posição x + h é dada pela igualação dessas duas forças:

$${\displaystyle m{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}$$

X

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em que a dependência com o tempo de u(x) foi explicitado.

Se o conjunto de pesos consiste em N pesos uniformemente espaçados ao longo do comprimento L = Nh da massa total M = Nm, enquanto a constante da matriz K=k/N, podemos escrever a equação acima como:

$${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}}$$

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Tomando o limite N→ ∞, h → 0 e assumindo a suavidade obtém-se:

$${\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}}$$

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(KL²)/M é o quadrado da velocidade de propagação, neste caso particular.

Solução geral[editar | editar código-fonte]

Para uma equação de onda unidimensional é incomum que sua equação diferencial parcial envolva uma solução geral relativamente simples de ser encontrada. Desse modo,definindo novas variáveis​​:^[5]

$${\displaystyle \xi =x-ct\quad ;\quad \eta =x+ct}$$

X

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muda a equação de onda em

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0}$$

o que leva a solução geral:

$${\displaystyle u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )}$$

X

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ou equivalentemente:

$${\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)}$$

X

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Em outras palavras, as soluções da equação de onda 1D são somas de um certo "viajando" função F e uma função G. "viajar" significa que a forma destas funções arbitrárias individuais no que diz respeito a X permanece, no entanto, as funções são deslocadas para a direita( função F) ou esquerda ( função G) a razão ct. Isso foi obtido por Jean le Rond d'Alembert.^[6]

Outra forma de chegar a este resultado é notar que a equação de onda pode ser reescrita como:

$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}$$

e, portanto:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\mbox{e}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$$

X

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Estas duas últimas equações são chamadas equações de advenção, uma "viajando" para a esquerda e a outra à direita, ambos com velocidade constante c. Por um problema de valor inicial, as funções arbitrárias F e G podem ser determinadas para satisfazer as condições iniciais:

$${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$$

$${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x)}$$

X

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O resultado é a fórmula D'Alembert:

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds}$$

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No sentido clássico, se f (x)∈ C^k e g(x) ∈ C^k−1 , então u(t, x) ∈ C^k. No entanto, as formas de onda F e G podem também ser funções generalizadas, como por exemplo a função de delta. Nesse caso, a solução pode ser interpretado como um impulso que se desloca para a direita ou para a esquerda.

A equação básica de onda é uma equação diferencial linear e por isso vai aderir ao princípio da sobreposição. Isto significa que o deslocamento de líquido causada por dois ou mais ondas é a soma dos deslocamentos que teriam sido causadas por cada onda individual. Além disso, o comportamento de uma onda pode ser analisada pela divisão da onda em componentes, por exemplo, a transformada de Fourier quebra uma onda em componentes senoidais.

Problema de Valor Inicial e de Fronteira ^[7][editar | editar código-fonte]

O Problema de Valor Inicial e de Fronteira (PVIF) a seguir se trata do problema da corda elástica com extremidades fixas e sem a ação de forças externas, tal PVIF consiste no seguinte:

${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\cdot {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}},0<x<L,t>0;}$

${\displaystyle u(0,t)=0,u(L,t)=0,t\geq 0;}$

${\displaystyle u(x,0)=f(x),{\partial u \over \partial t}(x,0)=g(x);0\leq x\leq L,}$

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onde f e g são funções tais que

${\displaystyle f(0)=f(L)=0\quad e\quad g(0)=g(L)=0.}$

A solução deste PVIF é dada pela soma das soluções dos problemas da corda elástica com deslocamento inicial não-nulo e da corda elástica com velocidade inicial não-nula. Para solucionar ambos os problemas, é utilizado o método da separação de variáveis.

O problema da corda elástica com deslocamento inicial não-nulo consiste em:

${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\cdot {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}},0<x<L,t>0;}$

${\displaystyle u(0,t)=0,u(L,t)=0,t\geq 0;}$

${\displaystyle u(x,0)=f(x),{\partial u \over \partial t}(x,0)=0;0\leq x\leq L.}$

Usando o método de separação de variáveis, a solução deste PVIF é

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\cdot sen({n\pi x \over L})\cdot cos({n\pi at \over L}),}$

${\displaystyle com\quad c_{n}={2 \over L}\cdot \int _{0}^{L}f(x)\cdot sen({n\pi x \over L})dx.}$

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Enquanto o problema da corda elástica com velocidade inicial não-nula é:

${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\cdot {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}},0<x<L,t>0;}$

${\displaystyle u(0,t)=0,u(L,t)=0,t\geq 0;}$

${\displaystyle u(x,0)=0,{\partial u \over \partial t}(x,0)=g(x);0\leq x\leq L,}$

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mais uma vez pelo método da separação de variáveis, temos a solução

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }k_{n}\cdot sen({n\pi x \over L})\cdot sen({n\pi at \over L}),}$

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${\displaystyle com\quad k_{n}={2 \over n\pi a}\cdot \int _{0}^{L}g(x)\cdot sen({n\pi x \over L})dx.}$

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FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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Portanto, temos que a solução do PVIF da corda elástica com extremidades fixas e sem a ação de forças externas

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\cdot sen({n\pi x \over L})\cdot cos({n\pi at \over L})+\sum _{n=1}^{\infty }k_{n}\cdot sen({n\pi x \over L})\cdot sen({n\pi at \over L}),}$

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com os coeficientes de Fourier calculados por ${\displaystyle c_{n}}$e ${\displaystyle k_{n}}$vistos anteriormente.

Equação de onda escalar em duas dimensões espaciais^[8][editar | editar código-fonte]

Para a dedução da equação da onda bidimensional pode-se pensar no movimento de uma membrana esticada, como a de um tambor, por exemplo. Para tornar a dedução mais simples é preciso admitir certos pressupostos, os quais parecem deslocados da realidade, mas correspondem bem à pequenas deflexões em membranas muito finas:

• A membrana é homogênea, flexível e muito fina, não oferecendo resistência à flexão;

• A membrana é esticada e fixada ao longo do seu contorno no plano xy;
• A tração causada pelo esticamento da membrana é a mesma em todos os pontos e direções, não se alterando durante a movimentação;
• A deflexão da membrana é pequena se comparada ao tamanho da membrana e todos os ângulos de inclinação podem ser considerados pequenos.
  

Definindo T como a força de tração por unidade de comprimento da membrana e considerando um pedaço pequeno dela, tem-se que as forças que agem sobre ele são tangentes à membrana e tem módulo calculado por ${\textstyle T*\Delta x}$ e ${\textstyle T*\Delta y,}$ com ${\textstyle \Delta x}$ e ${\textstyle \Delta y}$ indicados na figura ao lado.

Analisando as forças, tem-se que suas componentes horizontais são dadas por uma multiplicação do módulo pelo cosseno do ângulo. Dado que foi pressuposto que os ângulos são muito pequenos, o valor dos cossenos tende à um. A partir disso, tem-se que as componentes horizontais das forças são quase iguais, de modo a se anularem. Por consequência, se considera que a movimentação da membrana na direção horizontal é desprezível.

Já em relação às componentes verticais das forças tem-se que:

${\displaystyle {T*\Delta y*[u_{x}(x+\Delta x,y_{1})-u_{x}(x,y_{2})]+T*\Delta x*[u_{y}(x_{1},y+\Delta y)-u_{y}(x_{2},y)]}}$

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Onde, ${\textstyle u_{x}}$ representa a derivada parcial em relação à ${\textstyle x}$ da função que é solução da equação, ${\textstyle y_{1}}$ e ${\textstyle y_{2}}$ são valores entre ${\textstyle y}$ e ${\textstyle y+\Delta y}$ e ${\textstyle x_{1}}$ e ${\textstyle x_{2}}$ são valores entre ${\textstyle x}$ e ${\textstyle x+\Delta x.}$

Baseando-se na Segunda Lei de Newton, considerando ${\textstyle \rho }$ a massa por unidade de área da membrana e ${\textstyle \Delta A,}$ como ${\textstyle \Delta x*\Delta y}$ e ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}$ como a aceleração:

${\displaystyle \rho *\Delta x*\Delta y=T*\Delta y*[u_{x}(x+\Delta x,y_{1})-u_{x}(x,y_{2})]+T*\Delta x*[u_{y}(x_{1},y+\Delta y)-u_{y}(x_{2},y)]}$

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Dividindo os dois lados da equação por ${\textstyle \rho \Delta x\Delta y}$ para fins de simplificação e fazendo o limite de ${\textstyle \Delta x}$ e ${\textstyle \Delta y}$ tendendo à zero, chegamos à equação de onda bidimensional, onde ${\displaystyle c^{2}={\frac {T}{\rho }}:}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}})}$

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Ela ainda pode ser reescrita em termos de laplaciano de ${\textstyle u:}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u}$

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Ou de uma forma mais compacta, tal que:

$${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).}$$

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Podemos usar a teoria tridimensional para resolver este problema se considerarmos u como uma função em três dimensões, que é independente da terceira dimensão. Se

$${\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),}$$

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em seguida, a solução de fórmula geral tridimensional torna

$${\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )d\omega ,}$$

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onde α e β são as duas primeiras coordenadas na esfera unitária, e dω é o elemento de área sobre a esfera. Esta integral pode ser reescrita como uma parte integrante ao longo do disco D, com o centro (x, y) e um raio de ct:

$${\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .}$$

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É evidente que a solução de (t, x, y) depende não só dos dados sobre o cone de luz ,onde

$${\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},}$$

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mas também em dados que são interiores ao cone.